坐标系基础#

• 参考肖业伦与韩潮老师编撰的《航天器动力学》一书，使用GB/T 14410定义，右手坐标系；

• 坐标系矢阵：对坐标系$S_{a}$，其矢阵如$\mathbf{F}_a=\begin{pmatrix} \mathbf{i_a} \quad \mathbf{j_a} \quad \mathbf{k_a} \end{pmatrix}^T$，其中单位矢量$\mathbf{i_a},\mathbf{j_a},\mathbf{k_a}$均为列向量。

  • 注意转置符号
  • 坐标系中的某个矢量$\mathbf{u} = u_{xa} \mathbf{i}_a + u_{ya} \mathbf{j}_a + u_{za} \mathbf{k}_a = (\mathbf{i}_a \quad \mathbf{j}_a \quad \mathbf{k}_a) \begin{pmatrix} u_{xa} \\ u_{ya} \\ u_{za} \end{pmatrix}$

• 分量：$u_{xa},u_{ya},u_{za}$三个标量被称为分量。

• 分量列阵：$(\mathbf{u})_a=\begin{pmatrix} u_{xa} \\ u_{ya} \\ u_{za} \end{pmatrix}$表示矢量u在a系下的各分量，也被称为投影。

  • $\mathbf{u}=\mathbf{F}_a^T(\mathbf{u})_a=\mathbf{u}_a^T\mathbf{F}_a$
  • 注意区分$\mathbf{u}$和$\mathbf{u}_a$：在不同坐标系下，同一个矢量$\mathbf{u}=\mathbf{F}_a^T(\mathbf{u})_a=\mathbf{F}_b^T(\mathbf{u})_b$，$(\mathbf{u})_a\neq(\mathbf{u})_b$

• 世界坐标系&体坐标系

  • 项目	世界坐标系	体坐标系
    原点	固定于世界，不随物体运动	一般位于物体质心&关键几何点
    轴	不随物体转动而转动	随物体转动

  • 对弹道学科，可以初步认为世界坐标系->发射惯性坐标系，体坐标系->弹体坐标系。

旋转矩阵基础#

• 转换矩阵定义：从坐标系a向坐标系b转换的三维旋转矩阵是$3\times3$正交方阵，定义如$L_{ba}=\begin{pmatrix} a_{11} \quad a_{12} \quad a_{13} \\ a_{21} \quad a_{22} \quad a_{23} \\ a_{31} \quad a_{32} \quad a_{33}\end{pmatrix}=\mathbf{F_b}\cdot\mathbf{F_a}^T$
  • 推导过程：$\mathbf{u}=\mathbf{F}_a^T(\mathbf{u})_a=\mathbf{F}_b^T(\mathbf{u})_b$，两侧同乘$\mathbf{F}_b$即可
• 运算规则与性质
  • 分量变换：$(\mathbf{u})_b=L_{ba}(\mathbf{u})_a$
  • 坐标系变换：$\mathbf{F}_b=L_{ba}\mathbf{F}_a$
  • 正交性质：$L_{ab}=L_{ba}^{-1}=L_{ba}^T$
• 直观理解
  • $L_{ba}$可以看成$((\mathbf{i}_a)_b \quad (\mathbf{j}_a)_b \quad (\mathbf{k}_a)_b)$，也即三个a系中的单位向量在b系中的分量表示。
  • 假设站在z轴正无穷处沿-z轴方向看，A系绕z轴逆时针转$\theta$度，x、y轴不动：
    • $\begin{cases} \mathbf{i}_a=\cos(\theta)\mathbf{i}_b - \sin(\theta)\mathbf{j}_b + 0\mathbf{k}_b \\ \mathbf{j}_a=\sin(\theta)\mathbf{i}_b + \cos(\theta)\mathbf{j}_b + 0\mathbf{k}_b \\ \mathbf{k}_a=0\mathbf{i}_b - 0\mathbf{j}_b + 1\mathbf{k}_b \end{cases}$
    • 则$L_{ba}=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & sin(\theta) & 0 \\ -\sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$（注意按列的对应关系）
    • 或者按行看，$L_{ba}=((\mathbf{i}_b)_a \quad (\mathbf{j}_b)_a \quad (\mathbf{k}_b)_a)^T$，更直观。

欧拉角基础#

• 通过绕X轴、Y轴、Z轴的三次旋转定义从系A到系B的转换关系。
• 除了转角大小，还需要给定旋转次序与内旋/外旋定义，才能唯一确定转换后的坐标系。
• 旋转次序：最常用的是231与321旋转。
  • 231：YZX（偏航-俯仰-滚转）次序，一般用于平飞飞行器；
  • 321：ZYX（俯仰-偏航-滚转）次序，一般用于垂直发射飞行器。
• 内/外旋：详见”内旋，外旋与左右乘”一节
• 死锁：第二轴旋转量为90°/-90°时，旋转失去一个自由度的现象。
  • 如231次序下的垂直飞行器，偏航角与滚转角的旋转方向是一致的。

四元数基础#

• 可参考以下视频建立对其的直观认识。

• 定义：形如$q=a+bi+cj+dk \quad (a,b,c,d\in{R})$的数，$a,b,c,d$分别代表实部和三个虚部分量。
• 特点：四个轴（实轴+三个虚轴）之间相互正交。
• 用途与优势：用于表示三维空间内的旋转运动，解决了欧拉角“死锁”的问题。
• 运算规则：以$q=a+bi+cj+dk$为例
  • 简写成$q=(a,b,c,d)$
  • $a$：实部（又称标量部分）
  • $(b,c,d)^T$：虚部（又称矢量部分）
  • $i,j,k$：表示三个相互正交的虚轴，他们各自也与实部正交
  • $i^2=j^2=k^2=-1$
  • $ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j$
  • $ijk=-1$
  • 乘法过程中不满足交换律，满足结合律。
  • $q_1\cdot{q_2}=(a_1,b_1,c_1,d_1)\cdot{(a_2,b_2,c_2,d_2)} \\ =\begin{pmatrix} a_1a_2-b_1b_2-c_1c_2-d_1d_2 \\ a_1b_2+b_1a_2+c_1d_2-d_1c_2 \\ a_1c_2-b_1d_2+c_1a_2+d_1b_2 \\ a_1d_2+b_1c_2-c_1b_2+d_1a_2 \end{pmatrix}^T$
• 纯四元数：$\mathbf{u}_p=(0,b,c,d)$，实部为0。
• 共轭四元数：$q^{-1}=(a,-b,-c,-d)$
• 直观理解
  • 来自互动视频。
  • 对一个$q=\cos(\theta)+\sin(\theta)(ai+bj+ck) \quad (a^2+b^2+c^2=1)$，可以认为定义了旋转轴$ai+bj+ck$。
    • 左乘：对一个四元数a，$qa$表示向q旋转轴正方向+右手方向周向的空间变换；
    • 右乘：$aq$表示向q旋转轴正方向+左手方向周向的空间变换。
    • 旋转：$qaq^{-1}$，其中$q$与$q^{-1}$在旋转轴上的效应相互抵消，周向效应互相叠加，结果得到了a沿轴右手方向旋转$2\theta$得到的四元数。

轴-角基础#

• 定义：绕某条单位轴旋转给定的夹角。
• 可以与四元数直接转化
  • 对$q=\cos(\frac{\theta}{2})+\sin(\frac{\theta}{2})(ai+bj+ck) \quad (a^2+b^2+c^2=1)$，表示了绕轴$ai+bj+ck$旋转$\theta$度的情况。
  • 计算时使用$a'=qaq^{-1}$

欧拉角->旋转矩阵#

• 按照旋转顺序，将各个转换矩阵依次连乘即可。
• 注意：旋转轴表示在世界坐标系/体坐标系下的结果不同
  • 如果表示在体坐标系下，则后续旋转在前序基础上继续左乘（这是飞行器姿态计算中的常见现象）
  • 如果表示在世界坐标系，则后续在前序基础上右乘。
  • 具体原因可以查看”世界坐标系、体坐标系与左右乘”一节。

旋转矩阵->欧拉角#

• 本质上是求六元三次方程组的解。
• 解方程时，先确定绕第一轴旋转的角度，即可方便地确定绕剩余两轴的角度。
• 特判：死锁状态。

(单位)四元数->旋转矩阵#

• 本质上需要将待旋转的向量$\mathbf{u}$转换为纯四元数$\mathbf{u}_0=(0,\mathbf{u}^T)$，然后将$q\mathbf{u}_0q^{-1}$计算结果与旋转矩阵的形式匹配起来。

• 对于单位四元数$q=a+bi+cj+dk$，对应的旋转矩阵为

  $R = \begin{bmatrix} 1 - 2(c^2 + d^2) & 2(bc - ad) & 2(bd + ac) \\ 2(bc + ad) & 1 - 2(b^2 + d^2) & 2(cd - ab) \\ 2(bd - ac) & 2(cd + ab) & 1 - 2(b^2 + c^2) \end{bmatrix}$

旋转矩阵->(单位)四元数#

• 要凑出四元数，本质上就是要获得旋转的轴-角。
• 思想：一次对齐一轴
• 令a->b系的旋转矩阵为$L_{ba}$，考察A系中三个单位矢量的分量表示$(i_a)_a=(1,0,0)^T,(j_a)_a=(0,1,0)^T,(k_a)_a=(0,0,1)^T$
• $(i_a)_b=L_{ba}(i_a)_a,(j_a)_b=L_{ba}(j_a)_a,(k_a)_b=L_{ba}(k_a)_a$
• 转换1-对齐i轴：找到让$(i_a)_a$转到$(i_a)_b$的轴方向(与$(i_a)_a$以及$(i_a)_b$均正交) 与转动角度（通过叉乘计算，注意叉乘结果为0的特殊情况），表示为四元数$q_1$
• 转换2-对齐j轴：以$(i_a)_b$为轴，在转换1的基础上，找到让j轴朝向对齐$(j_a)_b$的转动角度（同样通过叉乘计算，注意结果为0的情况），将结果表示为四元数$q_2$
• 经过两次转换，$i,j$两轴都已对齐，$k$轴也自然对齐（因为左右手关系在变换中不变）。

(单位)四元数->欧拉角#

• 通过四元数->旋转矩阵->欧拉角实现，否则过于麻烦
• 同样需要特判死锁状态

欧拉角->(单位)四元数#

• 将每一步欧拉角操作写成对应四元数，并将各步骤依次相乘。
• 注意：同样需要注意轴在世界坐标系还是体坐标系。

轴-角->旋转矩阵#

• 使用轴-角—>四元数—>旋转矩阵的方法计算

旋转矩阵->轴-角#

• 参考旋转矩阵->(单位)四元数